Matrices complémentaires et produits

Soit \(A\) une matrice de taille \(n\times n\) à coefficients réels. On désigne par \( A^\#\) la matrice complémentaire de \( A \).

La question que l’on se pose alors est la suivante: si \( B \) est une autre matrice de taille \( n\times n\) à coefficients réels, est-ce que l’on a \( (A\cdot B)^\# = B^\#\cdot A^\#\)?

J’ai vu un joli argument dans une discussion sur Wikipédia que je vous livre ici (sur la page réelle, on prend l’inverse de matrices pas forcément inversibles….)

Premier pas

Si les deux matrices sont inversibles, l’assertion découle directement de l’identité \( A\cdot A^\#=\det A\cdot I_n \).

Un polynôme et des matrices

On considère le polynôme réel \( p_A(t) = A + t\cdot I_n \). On constate que sauf pour au plus un nombre fini de valeurs de \(t \), les matrices \( p_A(t) \) sont inversibles (l’équation \(\det p_A(t)=0\) est une équation polynômiale de degré au plus \( n \) qui a donc au plus \( n \) solutions).

Un peu de continuité

On considère maintenant la fonction continue \( f : \mathbb R\longrightarrow \textrm{Mat}(n\times n,\mathbb R) \) donnée par \[ f(t) =\big( p_A(t) \cdot p_B(t) \big)^\#-p_B(t)^\#\cdot p_A(t)^\# \]

S’il existe un \(t \) pour lequel \( f(t_0)\neq 0\), alors \(f \) ne s’annule pas dans un voisinage de \(t_0 \). Ce voisinage contient donc une infinité de matrices \( p_A(t) \) ou \( p_B(t) \) non inversibles, ce qui est en contradiction avec le point précédent. En particulier, \( f(0) = 0 \), comme on le voulait.

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