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Category Archives: Géométrie algébrique

The Brauer-Grothendieck-Group

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Table of contents:

  • Introduction
    • Diophantine equations, the Hasse principle and the Manin obstruction
    • Content of the project
  • Prerequisites
    • Cohomology
    • Reduced norm and unramied extensions
    • Sites and sheaf cohomology
  • The Brauer group of a field
    • Classical construction of the Brauer group
    • The Brauer group as a H1
    • The Brauer group as a H2
    • The Brauer group of a local field
  • The Brauer-Grothendieck group
    • Azumaya algebra over a local ring and Brauer group of a local ring
    • The Brauer group of a scheme
    • The cohomological Brauer group of a scheme
    • A brief summary
    • Some results

Files:

Grothendieck topologies and schemes

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Projet de semestre se rapportant à la géométrie algébrique et aux topologies de Grothendieck.

Le but est de définir la notion de topologie de Grothendieck et de considérer ensuite quelques topologies sur la catégorie des \(S\)-schémas. On considère les topologies étales, fpqc et fppf.

Contenu

  1. Introduction
    • Produits fibrés, fibre d’un morphisme
    • Morphismes (locallement) de type fini
    • Dimension
  2. Platitude
  3. Topologies de Grothendieck
    • Quelques notions de théorie des catégories
    • Topologies de Grothendieck
    • Topologies de Grothendieck et schémas
    • Pullbacks
  4. Topologie étale
    • Espace (co)tangent
    • Différentielles
    • Morphismes étales
    • Topologie étale
    • Le cas de \(\textrm{Spec}(k)\)
  5. Topologie fpqc et le problème de descente
  6. Topologie fppf et la représentabilité

Le pdf est là.

Géométrie algébrique

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Dans le cadre de mes projets de semestre, je me suis un peu promené sur internet à la recherche de sources d’informations sur la géométrie algébrique. Je vous en propose quelques unes. Si vous avez un lien à conseiller, n’hésitez pas.

  • The Rising Sea
    Page personnelle de David Murfet, postdoc à Bonn ; il y présente des notes personnellesLes plus: il y a en général tous les détails des preuves
    Les moins: pas toujours très lisible
  • Ravi Vakil, prof à Standford, propose des notes de cours (Foundatations of Algebraic Geometry)
    Un point très agréable de ces notes est qu’il essaie de transmettre le plus d’intuition possible sur les objets manipulés (un peu comme dans le livre « The geometry of schemes », d’Eisenbud et Harris -d’ailleurs, il y est cité)Liens:
    Notes de cours
    Blog
  • The Stacks Project
    Ce projet a la particularité de vouloir présenter un livre open source (!) sur la géométrie algébrique.
    Les plus:
    – Très complet (3000 pages, à l’heure ou j’écris ces lignes)
    – Possibilité de télécharger un chapitre (pdf ou tex) ou le tout
    Les moins:
    – Très utile comme livre de référence, mais il ne faut pas compter sur des exemples ou autres explications.
    Lien: The Stacks Project
  • En vrac
    http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/18.726.html

La carte aux trésors de Mumford

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Contrairement à certains autres livres sur le sujet, le livre « The red book of varieties and schemes » de David Mumford contient quelques illustrations permettant d’appréhender quelques spectres classiques.

lievenlb, dans le blog http://www.neverendingbooks.org/ propose une analyse poussée d’une de ces images: Mumford’s treasure map.

Sheaf Cohomology – Cohomologie des faisceaux

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Projet de semestre sur le cohomologie des faisceaux.
Contenu:

Introduction:

  • Faisceaux de modules
  • Diviseurs de Weil, diviseurs de Cartier et liens ente les deux
  • Groupe de Picard et liens avec les diviseurs

Cohomologie des faisceaux:

  • 2-3 notions d’algèbre homologique
  • Définitions (foncteur dérivé et cohomologie de Čech)
  • Exemple des faisceaux \(\mathcal{O}_X(n)\) (twisting sheaves of Serre) sur les espaces projectifs
  • Raffinement de recouvrements
  • Lien entre le groupe de Picard d’un schéma et le premier groupe de cohomologie

Accéder au pdf.

Géométrie algébrique

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Travail de semestre de troisième année:

  • Géométrie algébrique classique: Topologie de Zariski, Nullstellensatz (affine et projectif), catégorie des variétés algébriques, équivalence de catégories entre les variétés affines et les algèbres réduites de type fini
  • Faisceaux: définitions et premières propriétés
  • Schémas: spectre d’un anneau, espace annelés et localement annelés, schémas, schémas réduits, premières propriétés, liens avec la géométrie classique (vision d’une variété algébrique comme d’un schéma)

Accéder au PDF