Les algèbres de Clifford – II (exemples)

A la suite du premier article sur les algèbres de Clifford, on va regarder quelques exemples.  Dans tout cet article, on suppose que le corps de base \(K\) est les nombres réels. Un résultat classique (loi d’inertie de Sylvester) implique qu’une forme quadratique réelle sur un espace vectoriel de dimension \(n\) est isomorphe à une forme diagonale \(Q(x)=\sum_{i=1}^n a_i {x_i}^2\) avec \(a_i\in \{-1,0,1\}\). La paire \((p,q)\), où \(p\) (respectivement \(q\)) est le nombre de coéfficients \(a_i\) positifs (respectivement négatifs) est uniquement déterminée est est appelée la signature de la forme quadratique.

On va considérer pour la suite des formes de type \((0,n)\), c’est-à-dire \(Q(x)=-x_1^2-\ldots-x_n^2\) ainsi que la base canonique \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) sur \(V\). Ainsi, la relation fondamentale pour cette algèbre de Clifford est: \(x^2=-|x|^2\).

En particulier, on a sur l’algèbre de Clifford \(Cl(V,Q)\) les relations suivantes:

  • \( e_i \cdot e_i =-1\)
  • \( e_i \cdot e_j = – e_j \cdot e_i,\forall i\neq j\)

Notation: On note l’algèbre de Clifford de dimension \(2^n\) construite sur \( V=\mathbb R^n\)  via la forme quadratique \(-x_1^2-\ldots-x_n^2\) par \(Cl_n\).

Cas n=0

Rien de très fou ici. On a une algèbre sur les réels de dimension 1. Ainsi, \(Cl_0=\mathbb R\).

Cas n=1

On a ici une algèbre sur les réels de dimension 2 de base \(1,e_1\) avec la relation \(e_1\cdot e_1=-1\). On voit directement que cette algèbre est isomorphe à \(\mathbb C\).

Cas n=2

On a ici une algèbre sur les réels de dimension 4 de base \(1,e_1,e_2,e_1\cdot e_2\) avec les relations \(e_1\cdot e_1=-1,e_2\cdot e_2=-1,e_2\cdot e_1=-e_1\cdot e_2\). On voit directement que cette algèbre est isomorphe à \(\mathbb H\), l’algèbre des quaternions de Hamilton.

Algèbre de Clifford Cl_n, pour n=0,1,2,3,4

On peut en fait montrer les isomorphismes suivants:

\(n\) algèbre de Clifford associée
0 \(\mathbb R\)
1 \(\mathbb C\)
2 \(\mathbb H\)
3 \(\mathbb H\times \mathbb H\)
4 \(\textrm{Mat}_2(\mathbb R)\)

Quelques petites choses en vrac

  • Si \(n>1\), alors \(Cl_n\) n’est pas commutative.
  • Si \(n>2\), alors \(Cl_n\) contient des diviseurs de 0 (par exemple, on a \((1+e_1e_2e_3)(1-e_1e_2e_3)=0\)

Périodicité

Henri Cartan a montré que les algèbres de Clifford « ont une période 8 », c’est-à-dire: pour tout entier \(n\), on a \(Cl_{n+8}=\textrm{Mat}_{16}(Cl_n)\)).

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