La translation hyperbolique

Il est assez naturel de se demander ce que deviennent les translations de l’espace hyperbolique de dimension n si l’on on travaille dans le modèle de Poincaré (ou modèle conforme). Dans le livre de Ratcliffe (« Foundations of Hyperbolic Manifolds », pour ne pas le nommer), on a la formule suivante: pour tout $b\in B^n$, la translation s’écrit
$\tau_b(x) = \frac{ 1 – |b|^2}{|b|^2\, |x|^2+2x\cdot b+1}x+\frac{|x|^2+2x\cdot b+1}{|b|^2\, |x|^2+2x\cdot b+1}b$

Je me demandais si on pouvait voir un peu cette délicate formule. Pour cela, j’ai empoigné Maxima (logiciel de calcul formel, semblable à Mathematica, libre et disponible sous Windows, MacOS et GNU/Linux) et j’ai fait un mini code qui permet de dessiner un arc de courbe et sa translation dans le disque unité:

Voici son utilisation:

• La première ligne permet de spécifier le vecteur de translation (il doit avoir une norme strictement inférieure à 1).
• La deuxième ligne permet de donner la courbe à laquelle sera appliquée la translation (ici, un cercle de rayon 0.2). Attention à ce que la courbe reste dans le disque ;-). Elle doit être paramétrisée entre 0 et 1.

Voici quelques exemples (à chaque fois, la courbe originale est en rouge et sa translation en vert):

Il est assez naturel de se demander ce que deviennent les translations de l’espace hyperbolique de dimension n si l’on on travaille dans le modèle de Poincaré (ou modèle conforme)….